Untere Schranke falsch? - Variationsrechnung - Quantenphysik

Öhm

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1

Montag, 5. Juli 2010, 17:07

Untere Schranke falsch? - Variationsrechnung

Salut,

ich habe eine Aufgabe gerechnet und meine Lösung sei ab Teil c) - der letzte Aufgabenteil - falsch und ich habe nicht kapiert wieso *040*

Folgendes:

Für einen nach unten beschränkten (exakten) Hamiltonian gilt natürlich die Ungleichung

$\bra{\psi} H \ket{\psi} \geq E_{0} \| \psi \| ^{2}$

was man spielend beweist, wenn man die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung einsetzt und dann -Vollständigkeit sei Dank! - die $\mathbbm{1}$ einfügt. (Die LaTeX-Eins sieht hier ja mal eklig aus...)

Deshalb gewinne ich den kleinsten Eigenwert $E_{0}$ durch

$E_{0} = \mathrm{inf}\limits_{\psi} \dfrac{\bra{\psi} H \ket{\psi}}{\bra{\psi} \ket{\psi}}$

wobei $\psi$ natürlich eine hinreichend freundliche Versuchsfunktion ist.

Durch Variation der Parameter gewinne ich dann ein Minimum und habe somit eine obere Schranke konstruiert, welche bis auf - ich glaube sechs Prozent - Ungenauigkeit besitzt.

An einer einfachen Aufgabe habe ich das durch gerechnet und ein Problem trat auf:

Zitat: "Ein Teilchen befindet sich in einem Feld der Schwerkraft über einem festen Boden

$V(z) = \begin{cases} \gamma z \hspace{1em} z \geq 0 \\ \infty \hspace{1em} z < 0 \end{cases}$

Die Probefunktion sei

$\psi(z) = \begin{cases} A z e^{- \alpha z} \ z \geq 0 \\ 0 \hspace{3em} z < 0 \end{cases} , \ \alpha > 0$

a) Weshalb ist $\psi$ als Probefunktion in dieser Form geeignet?

b) Berechnen Sie das Energiefunktional.

c) Geben Sie auch eine untere Schranke an.

Die ersten beiden Teile waren leicht. In der a) muß man einfach nur die mathematischen Voraussetzungen für das Variationsprinzip herab beten und Teil zwei war ja nur etwas einfache Integration und ableiten *009*

Aber die c) soll, wie ich sie löste, falsch sein.

Meine Argumentation ist folgende:

Wir haben per Konstruktion ein Supremum gewonnen und wir wissen, dass der Hamiltonian nach unten beschränkt ist nach Voraussetzung. Also kann ich (weil nach unten beschränkt und Supremum existiert) doch einfach die Identität nutzen, welche mir aus dem Supremum ein Infimum macht - Analysis I *009*

- und dann hat sich Teil c) meiner Meinung nach erledigt, aber meine Argumentation wurde als falsch bezeichnet und ich habe nicht gesehen wieso das falsch sein soll *044*

Thanks

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Exercises with transcedent number of points are facultative nuts. As is generally known, nuts are nourishing.

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vanhees71

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2

Montag, 5. Juli 2010, 18:04

Na ja, Dein Argument verstehe ich nicht so ganz.

Mal sehen, ob ich das hinkriege. Ich setze A=1

und verwende gottgegebene Einheiten $\hbar=1$ . Mit Mathematica kriegt man ratzfatz das Energiefunktional

$E(\alpha):=\frac{\matrixe{\psi}{\op{H}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}=\frac{\alpha^3+3 \gamma m}{2 \alpha m}$ .

Das müssen wir minimieren. Also $E'(\alpha)=0$ gesetzt. Das liefert

$\alpha=\left ( \frac{3 \gamma m}{2} \right)^{1/3}$ .

Da $E''[\alpha]=3/m>0$ , ist das ein Minimum, und folglich liefert $\alpha$ die gesuchte Lösung. Was Du mit Suprema argumentierst verstehe ich nicht.

Die exakte Lösung ist übrigens auch schön. Die findet man erst mal im Impulsraum, indem man die Beschränkung auf den oberen Halbraum erst einmal vergißt. Dann erhält man durch Fouriertransformation für die Energieeigenfunktionen die Airy-Funktion. Die Lösung für den gegebenen Fall erhält man, indem man die Randbedingung $\psi(z=0)=0$ berücksichtigt. Das sondert dann die diskreten Funktionen aus, indem man die Nullstellen der Airyfunktion entsprechend ausnutzt. Genaueres findest auf Übungsblatt 6 (Präsenzübung) und auf dem dazugehörigen Lösungsblatt:

http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/qm1-ss09/

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

Öhm

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3

Donnerstag, 8. Juli 2010, 21:10

Damit bin ich ja d'accord (und kann ich auch berechnen), aber mir ist trotzdem nicht klar, weshalb meine Argumentation falsch ist.

Da muss vermutlich ein konzeptioneller Fehler in meinen Gedanken sein und die konzeptionellen sind die schlimmsten, daher würde ich doch gerne wissen, wieso meines denn falsch ist, auch wenn ich sehe und akzeptiere, dass das andere auch auf dem "geraden Weg" zum Ziel führt. *044*

Gruß

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vanhees71

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4

Freitag, 9. Juli 2010, 15:37

Mein Problem ist, daß ich Dein Argument nicht verstehe. Kannst Du das nochmal ausführlicher erklären? Vielleicht finde ich dann den Fehler oder vielleicht ist ja auch gar keiner vorhanden! *004*

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

as_string

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5

Donnerstag, 15. Juli 2010, 18:05

Hallo!

Also ich verstehe auch nicht wirklich, was Du sagen willst. Ganz platt: Du "weißt", dass es eine untere Schranke geben muss, kannst diese aber nicht (so einfach...) berechnen. Du hast aber schon mit der Variation eine obere Schranke berechnet, die vielleicht sogar mit der unteren Schranke zusammen fällt, aber wahrscheinlich auch nicht.
Wie willst Du jetzt "die Identität" benutzen können, wenn Du doch gar nicht weißt, ob es identisch ist und es wahrscheinlich eher nicht identisch ist. Du kannst doch nicht sagen: Ich kenne eine obere Schranke und es gibt sicherlich auch eine untere Schranke die unter meiner oberen liegt und mit viel Glück vielleicht auch mal exakt darauf, also gehe ich einfach mal von dem glücklichen Zufall aus und behaupte, die obere Schranke ist jetzt auch meine untere.

Oder verstehe ich Dich wirklich komplett falsch?

Gruß
Marco

Öhm

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6

Samstag, 17. Juli 2010, 21:54

Zitat von »as_string«

Du kannst doch nicht sagen: Ich kenne eine obere Schranke und es gibt sicherlich auch eine untere Schranke die unter meiner oberen liegt und mit viel Glück vielleicht auch mal exakt darauf, also gehe ich einfach mal von dem glücklichen Zufall aus und behaupte, die obere Schranke ist jetzt auch meine untere.

Ojemine, mir dämmert es. Doch, das sagte ich und ich merke gerade, wie absolut anti-allgemeingültig das war. Das hatte ich irgendwie ignoriert. Mea culpa mea maxima culpa, sehr viel Asche auf mein Haupt. Hätte ich eigentlich selber sehen sollen...

Naja, zumindest sehe ich es jetzt. Danke euch

Ich denke ich bleibe wohl bei dem Zugang wie es mir beigebracht wurde und rechne es einfach stur herunter.

Gruß

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as_string

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7

Sonntag, 18. Juli 2010, 00:23

Aber das macht doch nichts: Die eigenen Denkfehler zu finden ist immer am schwersten, auch wenn es mal recht offensichtliche sind. Ist aber auch nicht schlimm, wenn man sie irgendwann und irgendwie dann doch noch erkennt. Peinlich sollte es Dir auf jeden Fall nicht sein! Du hast genau das Richtige gemacht: Gefragt und auf diese Art den Fehler erkannt. Andere fragen nicht, weil es ihnen peinlich ist, und erkennen dann auch ihre Fehler nie. Das ist dann wirklich doof...

In diesem Sinn: Gruß und gute Nacht!

Marco

vanhees71

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8

Sonntag, 18. Juli 2010, 09:56

Genau, es gibt keine dummen Fragen, nur dumme Antworten. Ich verstehe auch nicht, warum sich viele Studenten in Vorlesungen nicht trauen, Fragen zu stellen. Schließlich geht man in die Vorlesung, um etwas zu lernen, was man noch nicht weiß. *009*

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

mistel

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9

Sonntag, 18. Juli 2010, 10:40

Zitat von »vanhees71«

Ich verstehe auch nicht, warum sich viele Studenten in Vorlesungen nicht trauen, Fragen zu stellen. Schließlich geht man in die Vorlesung, um etwas zu lernen, was man noch nicht weiß.

Wenn die Dozenten oftmals nicht so dämliche Antworten geben... Meistens verstehen sie die Frage nicht und labern einen 5 Minuten lang voll über das was sie eben gemacht haben oder sie wissen die Antwort selbst nicht und labern dann meistens einen auch nochmal 5 Minuten lang voll, damit das Gegenüber total verwirrt "Danke" sagt und schweigt.

Aber *back2topic*

Woher soll ich wissen, ob die Vergangenheit keine Fiktion ist, die nur erfunden worden ist, um den Zwiespalt zwischen meinen augenblicklichen Sinneswahrnehmungen und meiner Geistesverfassung zu erklären?
Der Beherrscher des Universums

[insert nerdy text or equation here] The FSM is not necessary anymore.