Erweiterung und Residuensatz [Mathematisch]

Öhm

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Physikwissen: Physikstudium

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Mittwoch, 28. Juli 2010, 22:14

Diese wunderschöne Frage geht ganz konkret an Physikstudenten mit Interesse an mathematischer Physik. Man könnte sie auch in netmathematik stellen, doch dafür ist es dann doch zu trivial, da jeder brauchbare Mathematikstudent sofort sehen sollte warum.

Jeder Physikstudent der theoretische Physik mag sollte gute Basics in komplexer Analysis haben und dazu gehört natürlich der Residuensatz. Doch hier passiert etwas worüber man kurz nachdenken muss!

Nimmt man z.B. den Klassiker

$\mathlarger{\int\limits_{- \infty}^{\infty}} ~ \dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^{2}}$

das komplex integriert ein Dreizeiler ist und $\pi$ ergibt.

Was macht jeder als erstes? Genau, man setzt:

$f(z) = \dfrac{1}{1+z^{2}}$

und kann dann sofort die Residuen bestimmen. Doch wieso ist dies erlaubt? Die Frage ist:

Wieso können wir einfach solch eine Erweiterung machen und das $x \in \mathbb{R}$ einfach durch ein $z \in \mathbb{C}$ ersetzen?

In den aller meisten Fällen ist dies nämlich nicht möglich! *008*

Übergeordnete Notation wie:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$F: \mathbb{C} \setminus \{ z_{1}, \ldots, z_{n} \} \rightarrow \mathbb{C}$

$F | _{\mathbb{R}} = f$

sind nett zu lesen, aber so gut wie nie sinnvoll zu ermöglichen. Bei unserem Beispiel oben ist es z.B. nicht möglich, trotzdem macht man es!

Trotzdem kann man in der Funktionentheorie so gut wie immer unbekümmert das

durch

ersetzen.

Wieso kann und darf man das in der komplexen Analysis?

Have fun *nerd*

On a sexy problem sheet there are maximal $\color{red} { \mathrm{n} + \pi + \gamma + \mathrm{e}, ~ \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$ points to achieve.

Exercises with transcedent number of points are facultative nuts. As is generally known, nuts are nourishing.

vanhees71

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Physikwissen: abgeschlossenes Physikstudium

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Beruf: Postdoc (Theoretische Schwerionenphysik)

Mittwoch, 28. Juli 2010, 22:25

Hier verstehe ich Deine Bauchschmerzen nicht, kann man doch unmittelbar $f:\R \rightarrow \R$ als die Einschränkung (+Koeinschränkung) der meromorphen Funktion

$F:\C \setminus \{\pm \ii \} \rightarrow \C, \quad F(z)=\frac{1}{1+z^2}$

auffassen.

Ansonsten kann man oft solche Probleme durch analytische Fortsetzung erschlagen. Hat nämlich

eine Potenzreihenentwicklung, d.h. existiert eine Taylorentwicklung um $x_0 \in \R$ mit Konvergenzradius R>0

, hat man sogleich eine analytische Fortsetzung auf die Kreisscheibe $\text{B}_R(x_0) \subset \C$ .

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

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