Ich bin mir nicht so recht klar darüber, was Du eigentlich fragst. Der Spannungstensor gibt an, welche Kräfte an beliebigen Oberflächen angreifen. Bei einer Kugel, auf die ein gleichmäßiger hydrostatischer Druck einer Flüssigkeit wirkt, ergibt sich durch Integration über die Kugel wie für jeden Körper die Auftriebskraft
, wo die Dichte der Flüssigkeit, die Fallbeschleunigung und . Dies ist auch als Archimedisches Prinzip bekannt.

Die Rechnung, die völlig unabhängig von der Form des Körpers ist und mittels der Tensorversion des Gaußschen Integralsatzes ohne konkrete Integration auskommt, findet sich in der Wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Buoyancy

It isn't easy to read .

Im Falle eines Fluids ist der Spannungstensor (stress tensor), genauer gesagt das Spannungstensorfeld, aufgrund der Isotropie stets proportional zur Identität. In kartesischen Komponenten heißt das



In der Kontinuumsmechanik (Mechanik der deformierbaren Medien, die die Mechanik deformierbarer Körper, der Flüssigkeiten und Gase behandelt, wobei die letzteren beiden Themen auch allgmein Fluiddynamik genannt werden) betrachtet man das mechanische System als Ansammlung von Materievolumenelementen ("Zellen"), die mikroskopisch so groß sind, daß sie jeweils eine Unmenge von Molekülen beinhalten, so daß man das Verhalten der Zelle hinreichend genau durch die Mittelung über die Bewegung aller Moleküle in der Zelle ansehen kann. Andererseits denkt man sich die Zellen "makroskopisch klein", d.h. sie sind wesentlich kleiner als die Längenskala, auf der die makroskopischen physikalischen Größen (die Mittelwerte über die Molekülgrößen in jeder Fluidzelle) wesentliche Änderungen erfahren. Dann kann man dieses System mit Hilfe der Feldtheorie beschreiben und hat das mächtige Werkzeug der Tensoranalysis zur Verfügung (Gegenstand im zweiten Semester des Physikstudiums).

Zurück zum Spannungstensor: Wir betrachten also nun ein herausgegriffenes Volumen in dem Körper. Will man die Bewegung dieses Volumens beschreiben, hat man außer den äußeren Kräften (z.B. die Schwerkraft) auch zu berücksichtigen, welche Kräfte die übrigen Teile auf dieses Volumen ausübt, und das sind ihrer Natur nach Oberflächenkräfte. Wir haben es also mit einem Oberflächenintegral über den Rand zu tun, und da kommt der Spannungstensor



ins Spiel. Dabei bedeuten fette Größen Tensoren und normal geschriebene Größen mit Indizes die Euklidischen Komponenten bzgl. der kartesischen Basis . Über gleichnamige Indizes wird summiert (Einsteinsche Summationskonvention).

Die Kraft, die die der Rest des Vielteilchensystems auf den Körper ausübt, wird demnach durch



beschrieben. Dabei ist, wie in der Tensoranalysis üblich, die Orientierung der Flächennormalenelemente nach außen (weg vom betrachteten Volumen) gerichtet. In einer Flüssigkeit hat man also immer negative Spannungstensorelemente auf der Diagonalen, rechnet in dem Fall aber lieber mit dem positiven Druck. Daher rührt das Minuszeichen im Drucktensor eines homogenen isotropen Fluids, den ich (bzw. die Wikipedia!) angegeben haben.

Aus der Bedingung, daß im statischen Falle die Summe aller Kräfte verschwinden muß, folgt die Symmetrie des Spannungstensors:



Wie Du in der Wikipedia nachlesen kannst, folgt für den Fall eines in ein Fluid eingetauchten Körpers das archimedische Gesetz (für den statischen Fall).

Wenn ich Deine Frage nicht beantwortet habe, mag das daran liegen, daß ich Dich mißverstanden habe. Allerdings ist die präzise Ausarbeitung der Fragestellung immer schon mindestens die halbe Lösung des Problems, also formuliere Deine Frage nochmal klarer.

Hm, ich weiß ja nicht, was daran schon wieder so kompliziert ist. Anschaulicher geht's ja nicht. Deshalb heißt ein Tensor übrigens Tensor. Die Wikipedia bietet zum Glück ein hübsches Bildchen. Ich brauche immer Stunden, um sowas zu malen . Also hier ist es:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Compon…r_cartesian.svg

Stelle Dir einfach vor, der eingezeichnete Würfel befinde sich in einer zähen Flüssigkeit, die ihn umströmt. Die Flüssigkeit greift an der Oberfläche an, und in führender Ordnung ist die Kraft auf jedes Flächenstückchen proportional zur Größe dieses Flächenstückchens. Jetzt ist die Kraft aber ein Vektor, der irgendwie in Beziehung zur Orientierung des betrachteten Flächenstückchens stehen muß. Dazu bedient man sich des Flächennormalenvektors, dessen Länge gerade der Größe des Flächenstückchens betrifft, und dessen Richtung senkrecht zu diesem Flächenstückchen gewählt ist. In welche Richtung er weist, ist im Prinzip willkürlich. Es gibt aber Konventionen, die sich bewährt haben, und bei geschlossenen Oberflächen (Rändern von Volumen), läßt man die Flächennormalenvektoren nach außen (aus dem betrachteten Volumen heraus) zeigen. In der obigen Wikipediazeichnung wurde mit Bedacht ein Würfel gewählt, der irgendwo im Raum parallel zum gerade betrachteten kartesischen Koordinatensystem liegt, und der Einheits-Normalenvektor der gelben Vorderfläche ist gerade .

Der Spannungstensor bildet nun den Flächennormalen Vektor auf die entsprechende infinitesimale Kraft



ab. Du kannst Dir den Tensor in seinen Tensorkomponenten bzgl. kartesischer Koordinaten gegeben vorstellen und den Flächenlementvektor in der obigen Gleichung als Spaltenvektor. Dann steht da eine ganz normale Matrix-Vektormultiplikation.

Was bedeuten nun die einzelnen Einträge in der Matrix? Da sind einmal die Diagonalelemente. Bei dem achsparallelen Würfel liefern die gerade die Normalenkräfte, z.B. den Druck der Flüssigkeit im statischen Fall, weil da eben Flüssigkeit senkrecht auf den Würfel drückt. Es gibt aber noch andere Kräfte: Weil die Flüssigkeit strömt und nicht völlig reibungsfrei an dem Würfel vorbeikommt, gibt es auch Scherkräfte, und die werden durch die Außerdiagonalelemente in der Matrix repräsentiert. Insgesamt hast Du also eine Normalkraft (in Richtung der Flächennormale) und zwei Komponenten der Scherkraft, die senkrecht zum Flächennormalenvektor zu liegen kommen, also tangential zur Fläche wirken. Ich finde das höchst anschaulich. Wenn das immer noch nix hilft, muß wirklich jemand didaktisch begabtes her (Irrlicht?).

PS: Schneeglöckchens Schreibweise sieht ein wenig seltsam aus. Wieso hat er auf der Diagonalen etc. stehen? Never seen!

Ich schreibe gerne auch meinen Senf dazu () , aber (ich bitte um Entschuldigung), was möchtest du genau wissen oder verstehen doomguard?

Erklär' mir dabei bitte nochmal Deine Notation. Wahrscheinlich ist meine Hydrodynamik schon ein bißchen eingerostet (obwohl ich gar nicht mal so selten mit relativistischer Hydrodynamik zu tun habe, die übrigens gerade wieder ein höchst aktuelles Forschungsgebiet in der Schwerionenphysik ist; es ist einigen Kollegen übrigens kürzlich gelungen, funktionierende viskose relativistische Hydrodynamik herzuleiten und auf's Quark-Gluon-Plasma anzuwenden).

Zitat von »vanhees71«

Schneeglöckchens Schreibweise sieht ein wenig seltsam aus. Wieso hat er auf der Diagonalen etc. stehen? Never seen!

Könnte das vielleicht ein äußerer Druck sein? Wenn man bei dem Würfel in einem Fluid bleibt, könnte das z.B. der Luftdruck sein, der eben auch senkrecht zur Fläche wirkt?

Das könnte es sein! Man muß nur aufpassen, daß man , wenn man unsere beiden Ausdrücke vergleicht. Die korrekte Gleichung, die man aus meinem vorigen Posting erhält, wenn man das Volumenelement infinitesimal klein macht. Dann folgt



für die Kraft pro Volumeneinheit. In Komponentenschreibweise für kartesische Tensorkomponenten ist



Für den Fall, daß wir es mit einer homogenen isotropen Flüssigkeit zu tun haben, gilt

,

und dann reduziert sich die obige Gleichung zu



oder wieder vektoriell geschrieben.



Hierzu sind noch die äußeren (Volumen-)Kräfte zu zählen, z.B. die Schwerkraft in Erdnähe:



Die Euler-Gleichung des idealen Fluids ist dann durch



gegeben.

Diese Gleichung kann man unmittelbar aus der Newtonschen Bewegungsgleichung für ein Fluidvolumen herleiten. Dabei ist zu beachten, daß in der hier verwendeten Schreibweise als Feldgleichung die Größen als Funktion eines festes Ortes und der Zeit zu verstehen sind. Die Newtonsche Gleichung benötigt aber die Zeitableitung der Geschwindigkeit eines vorgegebenen Fluidvolumenelements, und die erhält man wie folgt: Die zeitliche Änderung des Fluidvolumenelements setzt sich einerseits zusammen aus der zeitlichen Änderung des Geschwindigkeitsfeldes am fest gegebenen Ort :



Allerdings ist im Zeitinkrement die Fluidzelle um weitergeflossen, d.h. es ergibt sich eine weitere Änderung, die Durch



Dann folgt die Euler-Gleichung sogleich aus der Newtonschen Bewegungsgleichung unter Verwendung der oben besprochenen Kräfte.

Diese Herleitung folgt der unmittelbaren Betrachtung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung und ist nicht unbedingt die physikalisch schönste Herleitung, die (ich bleibe dabei, daß Symmetrien und Erhaltungssätze die beste Beschreibungsweise und vereinheitlichende Sicht aller Physik darstellt ) darin besteht, die sich via Noethertheorem aus der Galileisymmetrie der Newtonschen Mechanik folgenden Erhaltungsgrößen ergeben. Dann ergibt sich die Eulergleichung aus der Bilanzgleichung für den Impuls. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung



welche die Erhaltung der Masse beschreibt (und nur auf recht subtile Weise aus der Quantentheorie der Galileigruppe folgt, wenn man dem Symmetrie-Paradigma folgen will!) ist dies äquivalent zur Euler-Gleichung. Für die moderne Auffassung vgl.

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations_(fluid_dynamics)

Die Herleitung über den Lagrangeformalismus habe ich mal als Seminar für mein Nebenfach im Hauptstudium (Fluidmechanik ) ausgearbeitet:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/hydro/hydro.html

Sach mal, was ist denn jetzt schon wieder falsch? Das sind doch nun wirklich die allerersten Anfangsgründe der Hydrodynamik oder nicht? Ich weiß schon, daß die im Kanon der deutschen Physikausbildung nicht mehr verpflichtend gelehrt werden, was fast so katastrophal ist wie die Mißachtung der ART.

Andererseits: Seit wann kommen denn Drucktensoren (ich bevorzuge nach wie vor Spannungstensoren, aber wenn Ihr es so wollt...) im Physik-Lk dran? Das ist denn doch selbst mir etwas zu weitgehend (außer in einer AG mit wirklich interessierten Leuten versteht sich).

Zitat von »vanhees71«

was fast so katastrophal ist wie die Mißachtung der ART.

Zum Glück fällt das doch in den Master und da kann man ja seinen Schwerpunkt setzen.

Ei jei jei...

@doomguard:
Sorry doomguard, aber das ist doch nicht dein Ernst oder?! Das hat doch jetzt nichts mehr mit "hochtrabender mathematischer Physik" zu tun, sondern ist in der Tat ein Niveau das man per se nicht weiter drücken kann, wenn man halbwegs akademisch bleiben möchte und auf LK Niveau kann man den Begriff Tensor mit Sicherheit nicht, zumindest nicht ohne Grenzwertig falsch zu werden, vereinfachen und das ist nicht nur weitmögichst unteres Niveau, das ist auch ein Schwiereigkeitsgrad mit dem man bereits im zweiten Semester voll konfrontiert ist und hat absolut nichts mehr mit "vom hohen Ross herunter argumentieren" zu tun...

@Topic
Aber evtl. kann man es noch ausführlicher erklären, aber im Niveau weiter herab halte ich für fraglich... Wenn du willst doomguard, dann kann ich dir erklären wie ich verstanden habe, was der Spannungstensor ist.

Dieses Semester ist meine Aufgabe im Rahmen meiner Lehrverpflichtung die Ergänzung seines Manuskripts zu "Rechenmethoden der Physik". Für das zweite Semester ist da dran:

-volle Vektoranalysis im (beschränkt allerdings auf kartesische und krummlinige Orthogonalkoordinaten)
-Fourier-Reihen und Fourier-Integrale
-Legendretransformationen

Das ist wohlgemerkt eine Veranstaltung, die zur Experimentalphysik gehört, und das Skript soll auch den Materialwissenschaftlern für ihre Vorlesung zur Verfügung gestellt werden.

Doomguard hat offenbar eine etwas seltsame Einstellung zu den Erfordernissen eines Physikstudiums an deutschen Universitäten und hält alles schon für hochtrabend, was vor 18 Jahren (als ich angefangen habe zu studieren: WS '91 in Darmstadt) und eben auch heute noch hier in Gießen Standard ist. Ich kenne auch keine Uni, an der das nicht Standard wäre.

Die mitlesenden Schüler sollten sich von diesem Unfug nicht irritieren lassen. Das ist nicht hochtrabend und durchaus von normalbegabten Studenten schaffbar. Ein Physikstudium ist, ich wiederhole mich, allerdings kein 8-5 job, sondern erfordert doch etwas mehr Hingabe und Begeisterung...

Was ich auch unpassend finde, ist sich zu beschweren, wenn jemand in diesem Forum fragen beantwortet und dem Schreiber dann auch noch einen Tunnelblick vorzuwerfen ist, um es mal in Fraktur zu sagen, unverschämt. Ich poste hier, um Dir zu helfen (und zugegeben auch, weil es mir Spaß macht, mein Physikwissen auf vernünftig breitem Stand zuhalten um eben den Tunnelblick zu vermeiden). Vielleicht nützt ja die eine oder andere Anmerkung, die ich mache, wenigstens anderen mitlesenden Forumsteilnehmern.

Ich bin für deine Posts dankbar vanhees

Zwecks Niveau:
Ich kann "nur" über Freiburg was wirklich qulifiziertes sagen und dort ist man im zweiten Semester in der Physik absolut auf solchem Niveau am arbeiten. In der Experimentalphysik nicht wirklich, aber in der Theoretischen auf alle Fälle (und gewiss auch darüber hinaus)

Bei Interesse kann ich ja mal konkret ein paar Sachen aus meinem ersten und zweiten Semester hochladen, zwecks Niveau im ersten Jahr...

Glaub' ich Dir, Schneeglöckchen. Die Physik ist über Deutschland hin ziemlich homogen . Das ist eines der Verdienste der DPG, die sich um diese Vereinheitlichung schon recht früh sehr verdient gemacht hat. Umso ärgerlicher ist der Murks mit dem Bologna-Prozeß, aber mit hinreichendem Studi-Protest läßt sich das vielleicht reparieren.